The computer that runs on human neurons

The computer 特定のコンピュータを指します。

that runs on 「～で動作する」という意味の関係代名詞節です。

human neurons 人間のニューロン（神経細胞）を指します。コンピュータの動作原理が人間の脳の神経細胞に基づいていることを示唆しています。

runs on 「～で動作する」という意味です。エネルギー源や動作原理を示します。

The computer that runs on human neurons 人間のニューロン（神経細胞）を使って動くコンピュータ

human neurons 人間のニューロン（神経細胞）

The computer そのコンピュータ

The その（特定のものを指す定冠詞）

Computer コンピュータ

That ～する（関係代名詞）

Runs 動作する

On ～で（動作の基盤を示す前置詞）

Human 人間の

Neurons ニューロン（神経細胞）