Thanks to imported drugs, America has lost control of its medicine cabinet

輸入された薬のおかげで、アメリカは薬の管理を失ってしまった

分解して解説
Thanks to imported drugs, 輸入された薬のおかげで、または輸入された薬のせいで、という意味合いを含みます。
America アメリカ合衆国を指します。
has lost control 制御を失った、管理できなくなったという意味です。
of its medicine cabinet アメリカの薬箱、つまり国内の医薬品管理システムを指します。
熟語
lost control of ~の管理を失う、~を制御できなくなる
medicine cabinet 薬箱、家庭の薬棚
Thanks to 〜のおかげで、〜のせいで
begin nuclear talks 核に関する対話を始める
単語
Thanks 感謝、〜のおかげで
to 〜へ、〜に
imported 輸入された
drugs 薬、医薬品
America アメリカ
has 〜を持っている、〜である(ここでは完了形を助ける助動詞)
lost 失った(loseの過去分詞)
control 制御、管理
of 〜の
its それの、アメリカの
medicine
cabinet 棚、キャビネット
2週間前