Google Messages is making your spam text woes a thing of the past

Google Messages Googleが提供するメッセージアプリのことです。

is making 「～にしている」という意味で、ここではGoogleメッセージが迷惑メッセージの問題を解決しようと努力していることを表しています。

your spam text woes 「あなたの迷惑メッセージの悩み」という意味です。

a thing of the past 「過去のもの」という意味で、ここでは迷惑メッセージの悩みがなくなることを示唆しています。

a thing of the past 過去のもの、時代遅れのもの、という意味です。ここでは、迷惑メッセージの悩みがなくなることを示唆しています。

spam text woes 迷惑メッセージに関する悩みや問題のことです。

making your spam text woes a thing of the past あなたの迷惑メッセージの悩みを過去のものにする

is making 〜にしようとしている

Google 検索エンジンや様々なインターネットサービスを提供する会社名です。

Messages メッセージアプリの名前です。

is be動詞。ここでは「～である」という意味です。

making 「作る」という意味のmakeの進行形です。ここでは「～にしている」という意味合いです。

your あなたの、という意味の所有格です。

spam 迷惑メールや迷惑メッセージのことです。

text テキストメッセージのことです。

woes 悩み、問題、苦労、という意味です。

a 一つの、という意味の不定冠詞です。

thing 物、事、という意味です。

of ～の、という意味の前置詞です。

the 特定のものを指すときに使う定冠詞です。

past 過去、という意味です。