The problem for the Bernie Sanders movement is what happens when he’s gone

The problem for the Bernie Sanders movement 「バーニー・サンダースの運動にとっての問題」という意味です。この運動が抱える課題を指し示しています。

is what happens when he’s gone 「彼がいなくなったときに何が起こるか」という意味です。バーニー・サンダース氏が引退または活動を停止した後の運動の継続性や方向性に対する懸念を表しています。

what happens when he’s gone 「彼がいなくなったときに何が起こるか」という意味です。ここでは、バーニー・サンダース氏が政治の舞台から去った後、彼の支持基盤や運動がどうなるかという問題を提起しています。

the problem 「問題」という意味です。

The その、あの

problem 問題、課題

for 〜にとって、〜のために

movement 運動、活動

is 〜は、〜である

what 何、こと

happens 起こる、生じる

when 〜のとき、〜場合

he's 彼は〜です (he is の短縮形)

gone いなくなった、去った