The success of a key NATO summit is in doubt after Spain rejects a big hike in defense spending

スペインが国防費の大幅な引き上げを拒否したため、NATO首脳会議の成功は疑わしい。

分解して解説
The success NATO首脳会議の成功を指します。
of a key NATO summit 重要なNATO(北大西洋条約機構)の首脳会議の成功のことです。
is in doubt 疑わしい状態にあることを意味します。
after Spain rejects スペインが拒否した後に、という意味です。
a big hike 大幅な引き上げを指します。
in defense spending 国防費において、という意味です。
熟語
in doubt 疑わしい:何かの結果や成功が不確かな状態。
big hike 大幅な引き上げ:大幅な増加や上昇を意味します。
defense spending 国防費:軍事的な目的で使用されるお金のことです。
単語
The 特定のものを指す定冠詞です。(ここではNATOサミットの成功)
success 成功
of 〜の
a 一つの、または不特定のものを指す不定冠詞です。
key 重要な
NATO 北大西洋条約機構
summit 首脳会議
is 〜である(be動詞)
in 〜の中に
doubt 疑い
after 〜の後に
Spain スペイン
rejects 拒否する
big 大きい、大幅な
hike 引き上げ、増加
in 〜の
defense 防衛
spending 支出、費用
3週間前