As legislature adjourns, NC Senators give unanimous support to Stein's cabinet secretaries

議会が休会する中、ノースカロライナ州の上院議員たちはスタイン氏の閣僚候補を全会一致で支持した。

分解して解説
As legislature adjourns 「議会が休会する中」という意味です。ここで legislature は「議会」、adjourns は「休会する」という意味です。
NC Senators 「ノースカロライナ州の上院議員」という意味です。NC は North Carolina(ノースカロライナ州)の略です。
give unanimous support to 「~を全会一致で支持する」という意味です。unanimous は「全会一致の」という意味です。
Stein's cabinet secretaries 「スタイン氏の閣僚候補」という意味です。cabinet secretaries は「閣僚(長官)」を指します。
熟語
give unanimous support to ~を全会一致で支持する
cabinet secretaries 閣僚(長官)
As legislature adjourns 議会が休会する中、議会が活動を一時停止している状況を示します。
単語
As ~するにつれて、~なので、~のように
legislature 議会
adjourns 休会する、閉会する
NC ノースカロライナ州
Senators 上院議員
give 与える
unanimous 満場一致の、全員同意の
support 支持
to ~に
Stein's スタインの
cabinet 内閣
secretaries 長官、大臣
1週間前