The White House has begun process of looking for new secretary of defense

ホワイトハウスは新しい国防長官を探すプロセスを開始しました。

分解して解説
The White House 「ホワイトハウス」は、アメリカ合衆国の大統領府および官邸を指します。
has begun 「始めた」という意味で、ここでは「開始した」というニュアンスです。完了形が使われているので、過去から現在にかけて継続していることを示唆します。
process of looking for 「探す過程」という意味です。具体的な候補者を選定するために行われる一連の手続きを指します。
new secretary of defense 「新しい国防長官」を指します。国防長官は、国防総省の長であり、軍事政策の最高責任者です。
熟語
begun process of ~のプロセスを開始した
looking for ~を探す
secretary of defense 国防長官
new secretary of defense 新しい国防長官
単語
The 特定のものを指すときに使う指示語で、ここでは「ホワイトハウス」を特定しています。
has 「持っている」という意味の助動詞ですが、ここでは完了形を作るために使われています。
begun 「始める」という動詞の過去分詞形です。
process 過程、手続き
looking 探すこと
for ~のために、~を探して
new 新しい
secretary 長官、大臣
defense 国防
NPR
2ヶ月前