Microsoft and AMD have entered a new multi-year partnership for first-party Xbox hardware, with full support for your existing console games — "in your living room, and in your hands"

Microsoft and AMD それぞれアメリカの企業で、Microsoftはソフトウェアやクラウドサービス、AMDは半導体を開発・製造しています。

have entered a new multi-year partnership 「新たな複数年契約を締結した」という意味です。両社が長期的な協力関係を結んだことを示しています。

for first-party Xbox hardware 「自社製のXboxハードウェアに関して」という意味です。Microsoftが開発するXboxゲーム機のハードウェアに関する契約であることを示しています。

with full support for your existing console games 「既存のコンソールゲームを完全にサポートして」という意味です。新しいハードウェアでも、これまで発売されたXboxのゲームが問題なく遊べることを保証しています。

in your living room, and in your hands 「あなたのリビングルームでも、あなたの手の中でも」という意味です。Xboxのゲームが据え置き型ゲーム機でも、携帯型ゲーム機でも楽しめることを示唆しています。

have entered a new multi-year partnership 新たな複数年契約を締結した

with full support for ~を完全にサポートして

first-party Xbox hardware ファーストパーティのXboxハードウェア

in your living room, and in your hands あなたのリビングルームでも、あなたの手の中でも

Microsoft マイクロソフト（アメリカのソフトウェア会社）

and と、そして

AMD AMD（アメリカの半導体メーカー）

have ～を持っている（ここでは完了形の一部）

entered 参入した、締結した

a 一つの

new 新しい

multi-year 複数年の

partnership 提携、協力関係

for ~のために

first-party 自社製の

Xbox Xbox（マイクロソフトのゲーム機ブランド）

hardware ハードウェア

with ~で、~とともに

full 完全な

support サポート

your あなたの

existing 既存の

console ゲーム機

games ゲーム

in ~の中に

living リビング

room 部屋

hands 手