She Refused To Be Separated From Her Only Puppy — Even During Surgery

彼女はたった1匹の子犬と引き離されることを拒否した - 手術中であっても

分解して解説
She 「彼女」という特定の女性を指します。
Refused To Be Separated From Her Only Puppy 「彼女のたった1匹の子犬から引き離されることを拒否した」という意味です。彼女が子犬と離れることを強く拒んだことを示しています。
Even During Surgery 「手術中であっても」という意味で、いかなる状況下でも子犬と離れたくなかったという彼女の強い意志を強調しています。
熟語
Refused To Be Separated From 〜と分離されることを拒否した
Even During 〜の間でさえ、〜の間であっても
only puppy たった1匹の子犬
Be Separated From 〜と分離される
単語
She 彼女
Refused 拒否した
To 〜へ、〜に
Be 〜である
Separated 分離された、引き離された
From 〜から
Her 彼女の
Only たった一つの、唯一の
Puppy 子犬
Even 〜でさえ、〜でも
During 〜の間
Surgery 手術
2ヶ月前