Elise Stefanik eyes N.Y. governor run after pulling Trump cabinet bid

エリース・ステファニクは、トランプ政権への参加を見送った後、ニューヨーク州知事選への出馬を検討している

分解して解説
Elise Stefanik エリース・ステファニクという人物の名前です。
eyes N.Y. governor run ニューヨーク州知事選への出馬を検討している、という意味です。
after pulling Trump cabinet bid トランプ政権への参加を見送った後、という意味です。
熟語
eyes N.Y. governor run ニューヨーク州知事選への出馬を検討している、という意味です。「eye」はここでは動詞として使われ、「~に目を向ける」「~を検討する」という意味合いです。
pulling Trump cabinet bid トランプ政権への参加を取りやめた、という意味です。
governor run 知事選への出馬
after pulling 〜を取り下げた後
cabinet bid 閣僚への立候補
単語
eyes 検討する
N.Y. ニューヨーク州
governor 知事
run 出馬
after 〜の後
pulling 取り下げる
Trump トランプ(元アメリカ大統領)
cabinet 内閣
bid 立候補
2ヶ月前