Student Stumbles on 300-Million-Year-Old Gemstone Fossil That Shouldn’t Exist

学生が、存在しないはずの3億年前の宝石の化石につまずく

分解して解説
Student 「学生」を指します。
Stumbles on 「つまずく」または「偶然見つける」という意味です。ここでは「偶然見つける」の意味合いが強いです。
300-Million-Year-Old 「3億年前の」という意味です。
Gemstone Fossil 「宝石の化石」を指します。
That 関係代名詞で、ここでは Gemstone Fossil を先行詞として、これから説明が加わることを示しています。
Shouldn’t Exist 「存在しないはずの」という意味です。この化石が通常では存在しえない珍しいものであることを示しています。
熟語
Stumbles on 偶然見つける、つまずく
shouldn’t exist 存在しないはず
単語
Student 学生
Stumbles つまずく
on ~の上に
300-Million-Year-Old 3億年前の
Gemstone 宝石
Fossil 化石
That ~であること
Shouldn’t ~すべきでない
Exist 存在する
3ヶ月前