The pronatalists who believe Trump's White House is on their side

The pronatalists 出生力促進論者たちを指します。出生率の向上を支持する人々です。

who believe Trump's White House is on their side トランプ政権（ホワイトハウス）が自分たちの味方だと信じている、という意味です。

believe on their side 自分たちの味方だと信じている

The その

pronatalists 出生力促進論者

who ～する人、～である人

believe 信じる

Trump's トランプの

White 白い

House 家、ここではホワイトハウス（アメリカ大統領官邸）

is ～である

on ～の上に、～の側に

their 彼らの

side 側、味方